質問者様が世帯主かどうかによります。
親や夫などについてロンドンに来た住んでいたりして、すでにロンドンに住めるビザをお持ちであればもちろん可能です。
語学学校もいいですが、大学のサイトで週末語学コースなどを見ると3ヶ月で毎週土曜日に3時間ずつの授業で18万円くらいのがありました。教師が「英語を母国語としない人に英語を教えることで博士号を取ったフリーランスの女性」で、ロンドン大学やその周辺の大学でよく教えているといっていました。
独身の方、世帯主の方は不可能です。なぜなら、たしか週20時間以上の授業を受けるという証明をできなければビザが下りないからです。観光ビザでごく短期間に行うことはできるかもしれませんが、おそらく寮には入れず大金を払ってホテルか友人の家に住みつづけることになります。（かなりひどい宿でも一泊2万くらいします）それでもやりたければどうぞということになりますが、世間からは留学とはみなしてもらえないと思います。観光ついでにお稽古事に参加しただけとなります。当然、「語学留学しました」などといって履歴書に書けるようなものではありません。
少し話がずれますが、もしかして勤労学生となりたいと思っていらっしゃる場合は可能です。平日はフルタイムで働き、週末語学コースに通うということです。当然ながら、まずはロンドンの中で就職してからとなります。ただ、ほとんどの就職先はある程度英語ができることが必要です。
