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チャーチ市内からリンカーン大学まではバスが出ています。所要時間はシティバスセンターから約30分、リカトンショッピングモールから約20分です。本数は30分に1本程度とあまり多くないのがネックですが、週末遊びに出るぶんには何も問題ありません。

自分の車があれば所要時間が半分程度になるので、周りの留学生は中古車を買っている人が多いです。誰か車を持っている友達をつくって、一緒に遊びに行くようにするのもよいと思います。

語学学校には通ったことがありませんので、費用や雰囲気については答えられません。

英会話はレベルによりますが、語学学校にいけば上達はするでしょう。しかしどれだけ上達させるかは、最終的には自分自身の努力次第です。日本人以外の友人を作り、毎日英語で話すようにすれば確実にうまくなります。

ホームステイはしたことがないので、答えられません。

ニュージーランドでのホームステイの経験はありませんが、こちらの生活のおもな特徴を挙げてみます。

・都市部でも海が近かったり大きな公園があったりして、ここちよい環境が多いです。
・全体的にゆったりとした暮らしです。時間にも厳しくないし、人もせかせかしていません。
・高い建物が少ないので空が広いのが気に入ってます（オークランド以外）。
・小さい町にもスシ屋がありますので日本食が恋しくなっても大丈夫。
・外食は基本的に高いです（一食1000円〜）。
・例外的にフィッシュアンドチップスは安いので、毎週金曜日はフィッシュアンドチップスの日、という家庭が多いとか。
・ホームステイであれば、おそらく食事の相性が重要でしょう。こちらの家庭料理はローストした野菜と肉のようなシンプル（味気ない…）ものが多いので、あまりに合わない場合は自炊させてもらったほうがいいかもしれません。

わたし自身、交換留学の経験はありませんが、たいして違いはないと思います。
大事なのは留学の形態ではなく、自分自身のなかに留学の明確な目標を持ち、それに向かって行動することです。
また、留学するならできるだけ早いほうがいいと思いますよ。

30歳の留学経験者(大学・1年)です。
英語を学ぶためだけに仕事をやめて留学するのはリスクが大きすぎます。日本から一歩も出ずとも英語を習得することは可能です。海外生活を学ぶにしても、まずは2週間程度旅行やホームステイをしてみてはいかがでしょうか。
それでも留学がしたいのであれば、休職の手続きなど、仕事をやめずにすむ方法を考えてみてください。